Chắc hẳn bất cứ học sinh THCS nào ở Việt Nam đều biết kết quả của phép luỹ thừa bậc 0 của mọi số đều bằng 1:
\[a^0=1\]Nhưng không biết các bạn đã bao giờ tự hỏi tại sao lại thế chưa? Vì sao \(a^0\) không bằng 0 mà lại bằng 1?
Khi định nghĩa phép toán luỹ thừa, ví dụ \(2^3\), chúng ta thường tính kết quả bằng cách nhân 3 số 2 lại với nhau:
\[2^3=2\times2\times2=8\]Một cách tổng quát hơn thì:
\[a^n = \underbrace{a\times a\times a\cdots \times a}_\text{$n$ lần}\]Nhưng mà với cách nghĩ này, thì làm thế nào để tính luỹ thừa âm, ví dụ \(2^{-3}\)? Chẳng lẽ đem nhân -3 số 2 lên? Câu này nói ra đã thấy vô nghĩa rồi! Rồi làm thế nào để tính luỹ thừa số hữu tỉ, rồi số thực? Sau này còn luỹ thừa số phức nữa?
❓ Chốt lại, làm thế nào để tính được luỹ thừa trong các trường hợp:
Trước khi đi vào giải thích 4 trường hợp trên, ta nên thống nhất với nhau một điều: toán có thể coi là một ngôn ngữ dùng để mô tả quan hệ giữa các đại lượng. Trong ngôn ngữ, nhiều khi người ta có thể bịa ra khái niệm mới miễn sao khái niệm đó hợp lý và thống nhất với một số khái niệm trước đó trong cùng một chủ đề.
Trong bài này, trước khi “bịa” ra các khái niệm số mũ âm, số mũ hữu tỉ, số mũ thực, số mũ phức, ta nên để ý trong phép luỹ thừa số mũ tự nhiên, có 2 tính chất quan trọng nên được bảo toàn khi “bịa” ra các khái niệm mới trong phép luỹ thừa.
Tính chất nhân: \(a^m\times a^n = a^{m+n}\)
\[a^m\times a^n = \underbrace{a\times a\times a\cdots \times a}_\text{$m$ lần} \times \underbrace{a\times a\times a\cdots \times a}_\text{$n$ lần} = a^{m+n}\]Tính chất luỹ thừa của luỹ thừa: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
\[(a^m)^n = \underbrace{\underbrace{a\times a\times a\cdots \times a}_\text{$m$ lần} \times \cdots \times \underbrace{a\times a\times a\cdots \times a}_\text{$m$ lần}}_\text{$n$ lần} = a^{m \times n}\]Suy luận dưới đây không phải là chứng minh chặt chẽ nhưng có thể dựa vào suy luận này để hiểu cách định nghĩa các phép luỹ thừa mở rộng
Đầu tiên, \(a^0=1\)
\[\begin{align*} a^n&=a^{n+0}\\ &= a^n\times a^0\\ \Rightarrow a^0&=1 \end{align*}\]Tiếp, số mũ âm \(a^{-n}\) với mọi \(n>0 \)
\[\begin{align*} a^{-n}&=\frac{a^{-n}\times a^n}{a^n}\\ &=\frac{a^{-n+n}}{a^n}\\ &=\frac{a^0}{a^n}\\ \Rightarrow a^{-n} &=\frac{1}{a^n} \end{align*}\]Số mũ hữu tỉ \(a^{\frac{p}{q}}, (p, q \in \mathbb{Z})\)
Bắt đầu từ \(a^\frac{1}{q}\) nhé
\[\begin{align*} (a^\frac{1}{q})^q &= a^\frac{q}{q}\\ &=a^1\\ &=a\\ \Rightarrow a^\frac{1}{q}& = \sqrt[q]{a} \end{align*}\]Do đó, ta có hai định nghĩa dành cho luỹ thừa số mũ hữu tỉ:
\[\begin{align*} a^\frac{p}{q}&=(a^\frac{1}{q})^p\\ &= (\sqrt[q]{a})^p\\ \\ a^\frac{p}{q} &=(a^p)^\frac{1}{q}\\ &= \sqrt[q]{a^p} \end{align*}\]Phần tiếp theo là luỹ thừa số mũ số thực và luỹ thừa số phức. Hai phép luỹ thừa này hơi loằng ngoằng một tí.
Số mũ là số thực \(a^x, x \in \mathbb{R}\)
Khác với số hữu tỉ, số thực không thể biểu diễn chính xác dưới dạng \(\frac{p}{q}, (p, q \in \mathbb{Z})\). Tuy nhiên có phương pháp để xấp xỉ số thực \(x \in \mathbb{R}\) bất kì bằng một chuỗi các số hữu tỉ \(\frac{p_n}{q_n}, (p_n, q_n \in \mathbb{Z})\).
Tức là:
\[x = \lim\limits_{n \to\infty}\frac{p_n}{q_n}\]Hầu hết máy tính sẽ cố gắng lấy xấp xỉ số thực dựa trên qui tắc này. Có thể đọc thêm về Dirichlet’s approximation theorem và Diophantine approximation.
Dựa trên phương pháp xấp xỉ số thực bằng số hữu tỉ, ta qui việc định nghĩa luỹ thừa số mũ thực về luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. Chỉ số \(n\) có thể được điều chỉnh tuỳ theo yêu cầu của độ chính xác.
\[a^x = a^{\lim\limits_{n \to\infty}\frac{p_n}{q_n}}, x\in \mathbb{R}, p_n,q_n\in \mathbb{Z}\]Số mũ phức \(a^i, (i^2=-1)\)
Để định nghĩa luỹ thừa số mũ phức \(a^i\), ta sẽ cần sử dụng công thức Euler:
\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\]Để hiểu công thức này cũng như định nghĩa \(e^{i\theta}\), giải thích của 3Blue1Brown có lẽ là dễ nắm bắt nhất. Ở đây, ta sẽ công nhận công thức Euler, và dùng nó để định nghĩa \(a^i\).
Ta sẽ cần qui cơ số \(a\) về cơ số \(e\).
\[\begin{align*} a^i &= (e^{\ln a})^i\\ &=e^{i\ln a}\\ &=\cos(\ln a) + i\sin(\ln a) \end{align*}\]Note: Bài post này dựa vào bài của Tivada Danka.